EUCLIDES-DIŞI GEOMETRİLER

Hakan Parlak

Euclides-Dışı Geometrileri açıklamadan önce kısaca Euclides geometrisini bir hatırlamakta yarar olduğunu düşünüyorum. Euclides geometrisi doğru, çember, paralel doğrular, açılar, benzer üçgenler, düzlemler ve benzeri konuları inceleyen ve mükemmelleştirilmiş halini çoğumuzun ortaöğretim boyunca okuduğu geometridir. Belki insan düşüncesine en yakın olduğundan, belki de ilk düşünülen ve ikibin yıl alternatifi bulunamayan, ( aslında bir tek alternatifinin bile olamayacağına inanılan ) bir geometri olduğundan dolayı hala da ortaöğretimin temel derslerinden birisidir Euclides geometrisi. Bu isimle anılmasının sebebi bu geometrinin temellerinin yaklaşık olarak M.Ö. 300 yıllarında İskenderiye de büyük matematikçi Euclides tarafından yazılan ve onüç ciltten oluşan ‘ Elementler' de sistematik olarak işlenmiş olmasıdır. Euclides ‘ Elementler' in başlangıç bölümünde temel ilkeleri oluşturan önermelerin bir listesini vermiştir. Bunlar üç gruptur: Tanımlar, Aksiyomlar ve Postulatlar. Nokta, doğru, düzlem … v.b nin tanımı verildikten sonra Aksiyomlar yani Genel doğrular sıralanmıştır. Bunlar;

Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.

1. Eşit olan şeylere eşit şeyler eklendiğinde sonuçlar eşit olur.
2. Eşit olan şeylerden eşit şeyler çıkarıldığında kalanlar eşittir.
3. Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir
4. Bütün parçasından büyüktür.

şeklindedir. Bunlardan sonra da Postulatlar yani aksiyomlar gibi ispatsız kabul olunan ama doğruluklarına o zamanki anlayışa göre aksiyomlar kadar kesin gözle bakılmayan temel önermeler sıralanmıştır. Euclides ‘in postulatları şunlardır:

Bir doğru herhangi bir noktadan başka bir noktaya çizilebilir.

1. Bir doğru parçası doğrusal bir çizgi üzerinde sürekli uzatılabilir.
2. Bir daireyi herhangi bir merkez ve uzaklıkla belirleyebiliriz.
3. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
4. Başka iki doğruyu kesen bir doğru bu iki doğruyla aynı tarafta, toplamları iki dik açıdan küçük iç açılar meydana getirirse bu iki doğrunun uzantıları, açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişirler.

İşte bizim yazımızın kahramanı da bu beşinci postulattır. Beşinci postulat ya da paralellik postulatı diye adlandırılan bu ifade ‘Verilen bir doğruya verilen bir noktadan birden fazla paralel doğru çizilemez' ifadesiyle matematiksel açıdan eşdeğerdir. Matematik tarihinde belki de hiçbir önerme sonuçları bakımından paralellik postulatı kadar etkili olmamıştır. Bu postulat daha baştan kuşkuyla karşılanmış, yüzyıllar boyunca doyuruculuğu tartışma konusu olmuştur.

Euclides'in paralellik postulatı bağımsız mıydı ya da diğer postulatlardan çıkarsanabilir miydi? Bu soru matematikçileri 2000 yıl boyunca uğraştırmıştır. Eski çağda Ptolemy orta çağda Nasıreddin Tusi, 18.yüzyılda da Lambert ve Legendre bunun cevabını bulmaya çalıştı. Tüm bu insanlar postulatı kanıtlamaya çalışmış bu çalışmalarda çok önemli sonuçlar bulmuş ancak asıl hedefleri hep sonuçsuz kalmıştır.

Paralellik postulatının bağımsız bir postulat olduğunu yani seçilebilecek başka bir postulata dayanan yeni geometrilerin de mantıksal olarak olanaklı olabileceğini ilk kestiren Gauss'tur. O zaman tarihler yaklaşık 1817 yi gösteriyor olmalı. Bunu Gauss'un mektuplarından tahmin ediyoruz. Ne var ki Gauss ulaştığı sonuçları açıklama yoluna gitmez bu konudaki düşüncelerini hiçbir zaman yayımlamaz. Daha sonra 1823 de Macar matematikçi Janos Bolyai başka bir postulata dayanan bir geometri kuramının olanaklı olduğunu buldu. Onunda çalışmalarına son şeklini vermesi uzun sürünce, Euclides-dışı geometri düşüncesini ilk gerçekleştiren ve 2000 yıllık geleneğe meydan okuyup düşüncelerini yayımlayan rus matematikçi Nikolai Ivanovitch Lobachevsky olmuştur.

Lobachevsky'nin oluşturduğu yeni geometride beşinci postulatın yerine şu postulat kullanılmıştır. ‘Bir düzlem üzerinde bulunan d doğrusuna, dışındaki A gibi bir noktadan d doğrusuyla kesişmeyen birden fazla doğru çizilebilir.' Lobachevsky'nin ‘imgesel geometri' dediği bu geometriye günümüzde ‘hiperbolik geometri' denmektedir.

Gauss'un, Bolyai'nin ve Lobachevsky'nin birbirinden bağımsız olarak Göttingen, Budapeşte ve Kazan'da ortaya attığı temelleri benzer olan yeni düşüncelerin 2000 yıllık bir kuluçka döneminden sonra aynı dönemde ortaya çıkışı dikkat çekicidir.

Euclides-dışı Geometri adını ilk kullanan ise Gauss'tur. O zamanki yaygın Kantçı felsefe Euclides-dışı geometriyi ciddiye almayı reddettiği için otuz, kırk yıl boyunca matematiğin anlaşılması güç bir alanı olarak kalmıştır.

Kant'a göre, geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometrik önermeler bu nedenle zorunlu doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi. Birçok matematikçinin önceleri görmezden geldiği ve yok saydığı Euclides-dışı geometrinin önemini ilk kavrayan Riemann'dır. Riemann'nın ortaya koyduğu manifoldlar kuramı Euclides-dışı geometriye izin veriyor ve Riemann geometrileri denilen birçok yeni geometri ortaya çıkarıyordu. 1868 yılında da İtalyan matematikçi Beltrami Euclides-dışı geometrilerin kendi içlerinde tutarlılığını ispatlayarak artık bu konuda kalan tüm tereddütleri ortadan kaldırmıştır. Böylece geometride Euclides'in egemenliği matematikte de mutlak doğruluk düşüncesi yıkılmış oluyordu. Doğruluğu zorunlu gibi düşünülen postulatların varsayımdan öte bir şey olmadığı, matematiksel doğrululuğun göreceli olduğu, bir teoremin doğruluğunun dayandığı aksiyom ve postulatların doğruluğuna bağlı olduğu görülmüştür. Başka geometrilerin belirlediği başka uzaylarında olduğu belki de yaşadığımız evrenin de bu uzaylardan birine uyduğu düşünceleri ortaya çıkmıştır.

Yazdıklarıma son vermeden son vermeden şunu belirtmek isterim ki günümüz matematiğinin en önemli konularından biri olan Topoloji en genel geometri olarak diğer tüm geometrileri kapsar. Genellik bakımından topolojiden sonra projektif geometri gelir ve çeşitli özelleştirmelerle diğer geometrilere ( Hiperbolik geometri, küresel,eliptik geometri, ..) ulaşılır. Ve bu yazıda adı geçen kavram ve kişiler de başka, başka yazılara konu olabilecek kadar derin ve değerlidir. Farklı bir zamanda bu konularda yine buluşmak dileğiyle.