MATEMATİK FELSEFESİ

Volkan ÇELEBİ

Matematiğin neliğini ve değerini bütün yönleriyle dizgesel bir bütünlük içerisinde ele alan, matematik ile felsefe arasındaki yakınlık ilişkisinin ana nedenlerini; matematiğin felsefeye ilişkin içerimleri üstüne yoğunlaşarak irdeleyen felsefe alanı matematik felsefesinin özünü oluşturur. Matematikte “ neyi bilebiliriz ? ve nasıl bilebiliriz ? ” sorularına verilen cevaplar, karşımıza üç farklı matematik felsefesi olarak çıkar:Platonizm, formalizm ve konstrüktivizm...

Platonizme göre matematiksel nesneler gerçektir; varlıkları onlar hakkındaki bilgimizden bağımsız olan nesnel bir olgudur. Sonsuz kümeler, sonsuz boyutlu manifoldlar, uzay dolduran eğriler, matematik bahçesinin tüm bu öğeleri bir kısmı bilinen ama çoğu bilinmeyen, belirli özellikleri olan belirli nesnelerdir. Bu nesneler fiziksel ya da maddi değildir; zaman ve mekanın dışında varolurlar, değişmezdirler yaratılmamışlardır, değişmeyecek ve yok olmayacaklardır. Matematikçi kendinde ussal olan doğayı keşfetmelidir; bu doğa matematiksel mükemmellik ve uyumun kendisidir. Bu düzen gözle algılanamaz; ona ancak akılla ulaşılabilir, anlıkla kavranabilir. Oradadır, vardır, gerçekliğin temelinde yatan şeydir. Usçuluk açısından bakıldığında matematik yetkin ve apriori bilginin eşsiz bir örneği olarak değerlendirilmiş, aposteriori yani deney ve gözlemci felsefeyi çürütmek için önemli bir dayanak oluşturmuştur.Platon'un Menon diyaloğunda Sokrates bir köle çocuğu sorgulayarak kenarı ABCD karesinin köşegenine eşit olan büyük karenin ABCD karesinin alanının iki katı olduğunu bulmasını sağlamıştır. (köle çocuk geometri hakkında herhangi bir bilgiye sahip değildir) Bu örnek doğru ve ebedi olanın bilgisinin doğuştan potansiyel olarak insan usunda bulunduğunu, yani apriori olduğunu gösteriyordu. Rasyonalistler; Spinoza, Descartes, Leibniz tıpkı Platon gibi akıl yetisinin, insan zihninin doğuştan gelen özelliklerinden birisi olduğunu ve gözlemden bağımsız apriori olduğunu düşünmüşlerdir.

Formalizme göre ise matematiksel nesnelerin gerçekliğinden bahsedilemez.Matematik aksiyomlar, tanımlar ve teoremlerden yani formüllerden ibarettir.(semboller dizisi) Şüphesiz, formalistler bilir ki; matematiksel formüller fiziksel olana uygulanır ve anlam kazanır. Sadece formül olarak bir değeri yoktur. Çağdaş formalizm Hilbert' in formalizminden gelir ama aynısı değildir. Hilbert sonlu matematiğin gerçekliğine inanırdı, sonsuzun matematiğini geliştirmek için matematiği icat etmiştir; ona göre matematik aritmetikten başlayarak sadece mantıksal bir çıkarsama oyunudur. Bir formalist için matematik; aksiyomlardan teoremlere giden formel çıkarsama bilimidir, temel terimleri tanımsızdır. Gerçek ve doğru kavramları yadsınır; bu tür konuşmalar boş konuşmalardır. Bunu desteklediği söylenen argümanlardan birisi de Öklid' in geometrisinin Öklid-dışı geometri tarafından yadsınmasıyla ilgilidir.Öklid' e göre geometri aksiyomları varsayımsal değil, “kendiliğinden aşikar doğrulardır” . Formalist görüş; kendiliğinden aşikar doğrulardan başlayabileceğimiz fikrinin reddedilmesiyle ortaya çıkar.Öklid' in beşinci postülasının yadsınmasıyla ortaya Öklid-dışı geometrinin çıktığı biliniyor. ( kendiliğinden aşikar olmadığı kabul edilen paralellik postülası) Şimdi hem beşinci postülanın hem onunla çelişenin aynı anda doğru olduğunu nasıl düşünebiliriz? Platonistler yani ussalcılar bu duruma şöyle yanıt verecektir: Öklid-dışı geometri ile Küre yüzeyinde ve hiperbolik yüzeylerde böyle eğrisel üçgenler çizilebilir ve düzlem yüzeylerde geçerli olan postülalar böyle eğri yüzeylere doğrudan uygulanamazlar. Yeni “fiziksel” geometri özel yüzeylerde geçerli olan bu aksiyomları, düzlem geometrisinin yani Öklid geometrisinin çürütülmesi olarak görür, doğal bilinç bütünüyle geometrinin kendisinin çürütüldüğü sanısına kapılır.

Matematiğe görgül ve apestoriori temel arayanlar kendileri sözcüğün tam anlamıyla düşüncenin kendisini kullanırlar. Noktanın tanımı bile fizikselleştirilir ve sonzuz-küçüklük ya da sürekliliğin yokedilmesi için kendisini irrasyonalist olarak görenler ortaya atılır. Bir formalist saltığı reddeder; gerçeklikten vazgeçerek sadece aksiyom ya da teoremlerin kendi içlerinde tutarlı olup olmadıklarını kısmını inceler, bu onun için yeterlidir. Bir matematik felsefesi olarak formalizm, çalışan matematikçinin düşünme tarzıyla uyumlu değildir.Ancak bu pozitivist bilim felsefecileri için sorun değildir; yönelimleri teorik fizik olduğu için , matematiği kendi başına canlı ve büyüyen bir konu olarak değil basitçe bir araç olarak düşünürler. Denmek istenen şey geometrinin apriori olmadığı apaçık olarak bir deneyim ve gözlem bilimi olduğu; hiçbir evrensel ve zorunlu ilke kapsamadığı, giderek keyfi olan tanıtlamalar üzerine dayandığıdır.

Formalistler ve Platonistler varlık ve gerçeklik sorunun iki zıt ucunda yer alırlar; ama matematik pratiğinde ne tür akıl yürütme ilkelerinin kabul edilebilir olduğu konusunda bir anlaşmazlıkları yoktur. Her ikisine de karşı çıkanlar konstrüktivistlerdir. Konstrüktivistler yalnızca sonlu inşalarla elde edilen matematiği hakiki matematik olarak kabul ederler. Reel sayılar kümesi ya da diğer bir sonsuz küme böyle elde edilemez.Konstrüktivizm 1908 yılında Hollandalı topolog Brouwer ile birlikte başladı. Brouwer' in tavrı şuydu: Doğal sayılar bize, tüm matematiğin başlangıç noktası olan temel sezgilerimiz tarafından sağlanır. Bütün matematiğin konstrüktif bir şekilde doğal sayılar üzerine inşa edilmesini talep ediyordu. Yani, doğal sayılardan başlayıp sonlu sayıda adımdan oluşan bir inşa tarafından verilmedikleri sürece, hiçbir matematiksel nesnenin anlamı olduğu düşünülemez ve var olduğu söylenemez. Var olmadığı varsayımının bir çelişkiye yol açacağını göstermek yeterli değildir. Konstrüktivistlere göre, klasik matematikteki standart ispatların çoğu geçersizdir. Bazı vakalarda, konstrüktif bir ispat bulmayı başardılar. Ama diğer vakalarda konstrüktif bir ispatın imkansızlığını ispatladılar.

Klasik matematikte sağlam bir şekilde yerleşmiş olduğu düşünülen teoremlerin konstrüktivist matematik açısından yanlış olduğu açıklandı. Önemli örneklerden biri “üç hal yasası” dır: Her reel sayı ya sıfırdır, ya pozitiftir ya da negatiftir. Reel sayılar, Deekind ya da Cantor' un önerdiği gibi küme kuramsal yollarla ispat edilebilmektedir. Bu yasa kalkülüs ve analizin tamamında önemli bir tol oynar. Buna karşılık Brouwer öyle bir sayı örneği vermiştir ki; sıfırın pozitif ya da negatif olduğunu konstrüktif bir şekilde ispatlamak mümkün değildir. Brouwer' e göre bu üç hal yasasının yanlış olduğunu gösteriyordu. Gerçekten de üç hal yasasının klasik ispatı, çelişki yoluyla ispatı kullanır ve bu nedenle de Brouwer' in kriterlerine göre geçerli değildir. Birçok önde gelen matematikçi, konstrüktif olmayan yöntemler ve sonsuz kümelerin keyfi kullanımı konusundaki kaygı ve itirazlarını ifade etmiş olsa da ; Brouwer' in analizi baştan aşağı usdışı bulundu.

Formalizm ve konstrüktivizm, konuştukları matematiksel nesnelerin varlığı hakkında yorum yapamamaktadır, onlar aslında ne hakkında konuştuklarını bile açıklayamazlar çünkü matematiği felsefesinden yalıtmaya çalışırlar, sadece sonuçlar ve sonuçlardan çıkarsanan yeni sonuçlar önemlidir. Realist tavır (platonist), muhtemelen bütün matematikçilerin almayı tercih edeceği tavırdır. Ampirizm bile matematiksel bilgi hariç tüm bilgilerin gözlemden kaynaklandığını kabul eder. Genellikle matematiksel bilginin nasıl elde edildiğini açıklamaya çalışmamıştır. (istisnası Mill'dir) Hume' un meşhur “ateşe atın” talimatının dışında bıraktığı kitaplar matematik ve doğa bilimleri kitaplarıydı. Matematiksel bilginin konumunun tanımlanmasındaki sorunları bile fark etmemiştir o...

Matematiğin apriori bir bilim olduğu, aslında tüm bilimlerin apriori oldukları görüşünün kendisi bir aksiyomdur, ve tanıtlanmaya gereksinim duyar. Bu mantıksal dizgenin kendi içerisinde yerine getirilir. Doğru çizginin, düzlem yüzeyin giderek uzay, zaman ve özdeğin kavramsal doğaları doğal us tarafından dolaysızca anlaşılır ve gerçeklenir. Bu alan aksiyomatik alandır ve görgül, yani gözleme ve deneye dayalı bilimler bu alanda çalışmakla yetinirler. Ama burada eytişimsel düğüm noktaları ile karşılaşılır ve başlıca sorun sonsuzluk ve süreklilik kavramlarına bağlı olarak ortaya çıkar. Görgül ya da aposteriori bilim bu yalın kavramsal sorunlar karşısında bozguna uğrar ve sonluluğa ve süreksizliğe inmekten başka bir çözüm bulamaz.Kant' tan çok önce Descartes yalnızca deneyimin, yalnızca algının değil, ama tüm duyumun bile ancak düşünce belirlenimleri yoluyla anlamlı olduğunu göstermişti. Deneyim, gözlem, algı denilen süreçlerin kendileri daha baştan kuramsaldır ve kategoriler tarafından belirlenir.Geometriyi deneysel bilimin dalı olarak gören bakış açısı önce deneysel bilimin kendisinin apestoriori olmasının ne demek olduğunu düşünmelidir.Aposteriori bilginin bir bilgi bile olmadığı deneyim ve gözlemden türetilen tümevarımların ancak yaklaşık gerçeklikler , eşdeyişle ancak olasılıklar oldukları ortadadır. Bu olasılıklar görgücülüğün kendisi tarafından büyük bir buluş olarak görülür.Bilim olasılıkla da ilgilenir ama ona gerçekliğin nedenselliğin değerini vermez.Bilimsel yasa, bilimsel değişmez, bilimsel görgücü bakış açısının kavrayış çerçevesinin çok çok üstündedir. Pozitivist Einstein' in haklı olarak yakındığı gibi Olimpos' un doruklarındadır.Kişi oraya tırmanmayı göze almalıdır...