KANT'TA MATEMATİĞİN FELSEFİ TEMELLERİ - 3
|
|
Gördüğümüz gibi matematiksel nesnelerin oluşması için zaman ve mekanın saf görü olarak zorunlu olması nedeniyle matematiksel yargılar bu yolla ampirik yargılarımızla zorunlu bir ilişki kurmuş olurlar. Bu da Kant'tan sonra çok yaygın olarak işlenen bir sorunsala yani matematiğin doğaya uyarlanma sorunsalına Kant'in verdiği cevaptır.
Kant'tan sonra matematiğin ve bununla ilişkili olarak mekanın doğayla ilişkisi üzerinde çok geniş tartışmalar yapılmıştır. Özellikle Einstein'in izafiyet kuramından sonra yaygınlaşan bir görüşe göre matematik iki şekilde düşünülmelidir: saf ve uygulamalı matematik. Saf geometri ve saf aritmetik salt formel olup doğayla doğrudan ilişkisi olmayan kurgusal bir yapıdır. Bu yoruma göre, saf geometri ve aritmetik, tanımlardan ibaret olan birtakım aksiyom ve koyutlardan (postulates) türetilen teoremlerden ibaret olup ancak belli bir yorumla doğaya uygulanabilir. Buna göre örneğin Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometriler, belli bir mekan yorumuna dayandığı için birbirinden farklı ve hatta zıt olması mümkündür ve bu imkan, mekanın evrensel ve zorunlu mahiyetine zarar vermez.
Öte yandan Kant'tan sonraki bazı empiristler ise matematiksel bilginin analitik değil sentetik olduğu yani doğa hakkındaki bilgimizi genişlettiği noktasında Kant ile hemfikir olmalarına karşın yaptıkları temellendirme, tecrübeye dayandığından Kant'ınkinden oldukça farklıdır. Bunlar, matematiksel bilgideki evrensellik ve kesinliği inkar etmemekle birlikte onun Kant'ın iddia ettiği gibi sentetik a priori olmadığını savunurlar.
Örneğin böyle bir görüşü seslendiren V. Hacıkadiroğlu'na göre matematiksel bilgi, empirist analitikçilerin iddia ettiği gibi dünya hakkında birşey söylemeyen analitik bir bilgi değil, tam tersine dünya hakkında bilgi veren sentetik bir bilgidir, ama sentetik olmasına karşın aynı zamanda da kesin (certain) yahut onun deyimiyle pekin bir bilgidir. Hacıkadiroğlu, en tutarlı empirist olarak kabul edilen Hume'un aksine, ampirik bilginin de kesin olabildiğini iddia eder: "...Hume'un deneysel bilginin pekin olamayacağı görüşü temelden yanlıştır". Gerçi Hacıkadiroğlu kesin bilgiden ne anladığını açık bir şekilde ifade etmese de kullandığı bağlamda bu terimin zorunluluk ve evrensellik niteliklerini haiz bir terim olduğu anlaşılmaktadır. Öna göre Kant'ın diğer sentetik a priori bilgileri örneğin nedensellik yasası Kant'tm matematiksel yargıların sentetik a prioriliğine dayandığı için matematiksel yargıların sentetik a priori olmadığı gösterilirse onların da sentetik a prioriliği tehlikeye girmiş olur. Ancak konumuz fizikteki sentetik a priori yasalar olmadığı için bu konuya girmeyeceğiz. Ancak bu ikisinin birbiriyle irtibatlı olduğu aşikardır.
Analitik bilginin bilim olamayacağım zira bunun 'birtakım söz oyunlarından' müteşekkil olduğunu söyleyen Hacıkadiroğlu, matematiğin bilimlerdeki kullanımı gözönüne alındığında matematiksel bilginin sentetik olduğunun kolayca görülebileceğini iddia eder. Hacıkadiroğlu, ampirik bilginin ve dolayısıyla deneyimden elde edilen matematiksel bilginin nasıl kesin olabildiğini bir örnekle açıklamaya çalışır. Ona göre örneğin 100 santigrad derecede kaynayan suyun şartlar değiştiğinde farklı derecelerde kaynaması ampirik bilginin kesinliğine zarar vermez, zira şartlar değişmediği sürece suyun 100 derecede kaynamaması için bir neden yoktur. Hacıkadiroğlu'na göre matematiksel önermelerin Kant'ın iddia ettiği gibi sentetik a priori olmak zorunda olmadıklarım çünkü "...toplulukların sayılarla ilgili aritmetik önermeleriyle yeryüzünün ve nesnelerin boyut, yüzey ve oylumlanyla ilgili geometri önermleri dünya üzerine pekin [kesin: certain] bilgi veren sentetik ve deneysel önermelerdir. Bu sonuç, Kant'ın öne sürdüğü gibi, dünya üzerine pekin bilgi veren önermelerin a priori olmak zorunda oldukların değil, tersine, deney yoluyla elde edilen bilgilerin de pekin bilgi olabileceğini gösterir".
Ancak ampirik bilgideki kesinliğin matematiksel bilgideki gibi mantıksal bir kesinlik olmadığı açıktır, zira matematiksel doğruların tersi mantıksal olarak saçma sonuçlara götürürken ampirik doğruların tersi bizi mantıksal saçmalara yani çelişkilere sürüklemez. Kısacası ampirik bilginin öyle değil de başka türlü olabilmesi mantıksal olarak da ampirik olarak da mümkün olduğu için matematiksel bilgideki evrensellik ve zorunluluğa sahip olması mümkün değildir. Bu nedenle matematiksel bilginin tecrübeden çıkarıldığını söylemek mümkün değildir. Bu da Hacıkadiroğlu'nun matematiksel doğrularla ilgili görüşün en zayıf noktasını teşkil etmektedir, zira temellerinde pürüz bulunan bir binanın çatısının sağlam olması mümkün değildir.
Kant'tan Sonra Matematik Felsefesindeki Gelişmeler
Özellikle Öklidyen olmayan geometrilerin (Rieman ve Bolyai-Lobachevski geometrileri) ortaya çıkmasından ve Frege, Hubert, Bolzano, Poincaré, Russell, Peano, Dedekind ve Gödel gibi felsefeci ve matematikçilerin geometri ve aritmetiğe ilişkin çalışmalarından sonra Kant'ın matematik felsefesi, felsefe ve matematik çevrelerinde daha çok dikkat çekmeye başlamıştır. Sözkonusu gelişmelerle beraber Kant'ın genelde bilgi kuramı ve özelde ise matematik felsefesi yoğun bir eleştiriye muhatap olmuştur. Eleştirilerin odak noktası da Kant'ın matematiksel yargılarının temelini oluşturan saf görü kavramı olmuştur. Yukarıda adı geçen matematikçilerin çoğu geometri ve aritmetikte saf görüye yer olmadığını çünkü matematiksel doğruların görüye değil de mantığa dayandığını öne sürmüşlerdir. Bazı matematikçiler, Öklidyen olmayan geometrilerin ortaya çıkışından da cesaret alarak, genelde Kant'm bilgi kuramının özelde ise onun matematik felsefesinin matematiği açıklamada yetersiz kaldığını çünkü, bunlara göre, Kant'ın matematik felsefesi, Öklidyen geometrinin doğruluğu ve zorunluluğuna dayandığı için saf görüye değil de birtakım koyutlara dayanan Öklidyen olmayan geometrilerin varlığını izahtan acizdir. Bu görüşü savunanlardan bazıları, Kant'in yaşadığı dönemde henüz Öklidyen olmayan geometriler ortaya çıkmadığı için Kant'ın bu anlamda mazur görülebileceğini öne sürmüş ancak bu varsayımın yanlış bir yoruma dayandığını, zira Kant'ın matematik felsefesine göre, matematiksel yargıların doğruluğunun ve evrenselliğinin zamana bağımlı olmadığını yukarıda belirttik. Kant'ın genelde bilgi kuramı ve özelde matematik felsefesi yeni geometrilerin varoluş imkanını ortadan kaldırmadığı gibi aslında onlara yol da açmış bulunmaktadır bir anlamda.
Kant'tan yaklaşık yüz yıl sonra yani geçtiğimiz yüzyılın başlarında matematiğin mahiyeti konusunda hararetli tartışmalar yapılmıştır. Örneğin geometrik aksiyomlar ve temel matematiksel terimlerin anlamı konusunda Frege'nin temsil ettiği geleneksel görüş - ki Kant da bu görüşü benimser - ile Hilbert ve Poincare gibi matematikçilerin temsil ettiği o dönemde yeni yeni uç vermeye başlayan alternatif goemetri görüşü arasında çok sert tartışmalar meydana gelmiştir. Frege ile Hilbert arasındaki yazışmalarda nezaket kurallarını bile aşan ifadeler görmekteyiz. Frege, geometrik aksiyomu, doğruluğu, sezgi ile kesin olan bir düşünce olarak tanımlarken, Hilbert aksiyomların tanımlardan (Erklärungen) ibaret olduğunu ve dolayısıyla doğru ya da yanlış olamayacağını iddia eder. Hilbert ile bu konuda paralel düşünen Poincaré de geometrik aksiyomların "... ne tecrübi bir olguyu, ne mantıksal bir zorunluluğu ve ne de sentetik a priori bir yargıyı ifade ettiğini" zira bunların 'gizli tanımlar' olduğunu düşünüyordu. Öte yandan, Hilbert, 'nokta', 'çizgi' gibi matematiksel terimlerin anlamlarını aksiyomlara (tanımlara) borçlu olduğunu düşünürken Frege, bu terimlerin anlamlarının aksiyomlara değil, sezgiye dayandığını öne sürer. Frege'ye göre geometrik aksiyomları anlayan herkes bu terimlerin ne anlama geldiğini zaten bildiği için onları aynca tanımlamaya gerek yoktur. Hilbert ise bu terimlerin aksiyomlar dışında bir anlamı olmadığını iddia eder. Başka bir ifadeyle söylersek, Frege'ye göre aksiyomların doğruluğu sezgiye dayandığı için ispat gerektirmezken Hilbert, aksiyomların doğruluğunun aralanndaki tutarlılığa dayandığını söyleyerek yeni bir doğruluk anlayışı ortaya atar.
Aritmetikte ise Frege, Kant'ın aksine, aritmetiğin doğrularının analitik olduğunu yani mantığa indirgenebildiğini ispatlamaya çalışmışsa da öngörmediği bazı paradokslardan (örneğin Russell'ın kümeler paradoksu) dolayı ömrünün sonlanna doğru bu iddiasında şüpheye düşmüştür. Daha önce ifade ettiğimiz gibi, geometri konusunda, Frege, Kant'la paralel bir düşünceye sahiptir; Frege'ye göre de geometrik önermeler sentetik a prioridir. Ancak Frege, The Foundations of Arithmetic (Aritmetiğin Temelleri) adlı kitabında genelde aritmetikte ve özelde ise doğal sayılar kuramında Kant'ın saf görü kavramının gereksiz olduğunu iddia ederek sayılar kuramım kümeler kuramının da yardımıyla mantığa indirgeyerek onun analitik olduğunu göstermeye çalışmıştır. Frege'nin burada kastettiği mantık da tabiatiyle genel mantıktır, Kant'ın anladığı anlamda transandantal mantık değildir, zira Frege transandantal mantığın varlığını reddeder. Ancak Koç'un ifade ettiği gibi, Frege transandantal mantığı kabul etmediği için aritmetiğinin ontolojik mekanı yani felsefi zemini kaymıştır ve bu da Russell ve benzerlerinin paradokslarına yol vermiştir. Zira Kant'ta sayıların ve sayıların içinde oluştuğu yargıların ontolojik mekanı insan zihni iken Frege'de sayıların mekanı belli değildir. Frege, Kant'ı insan zihnini aritmetiğin nesnelerinin ontolojik mekanı yaptığı ve dolayısıyla aritmetiği öznelleştirdiği için suçlamasına karşın Kant'ta ampirik nesnelerde olduğu gibi sayılar ve sayıların içinde yer aldığı aritmetik yargılar öznel değil nesneldir, zira bunların temelinde saf kavramlar yani kategoriler vardır ki, Kant'a göre kategoriler a priori (evrensel ve zorunlu) olduğu için nesneldir. Doğal sayıları, mantıksal kavram ve ilkelerle kümeler cinsinden ifade eden Frege'nin aritmetikteki bu çabasına benzer bir çalışmayı da Dedekind yapmıştır. Dedekind, Hilbert'in geometride yaptığını aritmetikte yapmaya çalışmıştır. Ancak ikisi de aritmetiğin felsefi zeminini yani ontolojik mekanını göstermekte zorlanmış ve dolayısıyla Kant'm aritmetik felsefesini aşamamışlardır.
Sonsöz
Görüldüğü gibi Kant'tan sonra matematikte meydana gelen gelişmeler, genel olarak Kant'ın matematik felsefesine bir yanıt niteliğinde olup matematiği özellikle Kant'ın saf görü kavramından kurtararak onu mantığa indirgeyip analitik yapmayı amaç edinmiştir. Ne var ki, matematiği mantığa indirgeme çalışmaları son yüzyılda büyük bir ivme kazanmış olmasına karşın Russell, Gödel ve diğerlerinin aritmetikte ve özellikle doğal sayılar sisteminde gösterdiği paradoks ve çelişkiler sözkonusu çalışmaları sekteye uğratmış ve bu işle uğraşanları ümitsizliğe sevketmiştir. Dolayısıyla saf görüden kurtulan (daha doğrusu kurtulamayan!) ve analitik hale gelen aritmetik ve geometrinin doğayla nasıl ilişki kurduğu konusu sonraki gelişmelerde belirsizliğini korumuştur. Yani saf görüyü ortadan kaldırmak isteyenler onun yerine felsefi açıdan daha doyurucu birşey koyamamışlardır bu geçen süre içerisinde. Metaforik olarak söylersek, matematikte saf görüye karşı çıkanlar, yağmurdan kaçmak isterken aslında bir anlamda doluya tutulmuşlardır.
KAYNAKÇA:
Coffa, J. A., The Semantic Tradition From Kant to Carnap (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991).
Çitil, A., Kant'm Transandantal Düşüncesinde Nesne Kuramı ve Bu Kuramın Derinleştirilmesinin Yol Açtığı Bazı Sorunlar, yayınlanmamış doktora tezi, Boğaziçi Üniversitesi, İstanbul, 2000.
Frege, G., The Foundations of Arithmetic, İng. çev. J. L. Austin, 2. baskı (Evanston, İL: Northwestern Univ. Press, 1968).
Hacıkadiroğlu, V., "Matematik Önermeleri Üzerine", Felsefe Tartışmaları 20 (Aralık 1996), İstanbul.
Hubert, D., Foundations of Geometry (La Salle: Open Court, 1988).
Hume, D., An Enquiry Concerning Human Understanding, 2. baskı, editör E. Steinberg (Indianapolis: Hackett Publishing Company, 1993)
Irak, G., "Geometrik Aksiyomların Doğası ve Frege-Hilbert Tartışması", Bilim Felsefesi Seminerleri içinde, Benan Dinçtürk (ed.) (TÜBİTAK Marmara Araştırma Merkezi, 1997), ss. 53-65.
Jones, E., Reading the Book of Nature (Atina: Ohio Univ. Press, 1989).
Kant, I., Critique of Pure Reason, İng. çev. N. K. Smith (New York: St Martin's Press, 1965).
Prolegomena To Any Future Metaphysics That Can Qualify as a Science, İng. çev. P. Carus, 13 Baskı (Chicago: Open Court, 1996).
Logic, İng. çev. R. S. Hartman ve W. Schwarz (New York: Dover Pub.,1988).
Koç, Y., 1996, "Matematiğin Ontoloji Bakımından Kant ile Frege Karşılaştırması", Felsefe Arkivi 35 (1996), İstanbul.
1994, "Mekan ve Nesne", Felsefe Arkivi 29 (1994), İstanbul.
Leibniz, G. W., Philosophical Essays, İng. çev. R. Anew ve D. Garber (Indianapolis: Hackett Publishing Company, 1989)..
Özekes, H., "Matematik ve Düşünmek", Bilim ve Felsefe Toplantıları, Muğla Üniversitesi, 28 Mart 2002, Muğla (Yayınlanmamış Bildiri).
Riehl, A., Phil. Crit, Der philosophische Kriticismus und seine Bedeutung für die positive Wissenschaft, vols. I ve II, (Leipzig: Engelmann, 1879).
Russell, B., "Letter to Frege" (1902), J. van Heijenoort, From Frege to Gödel içinde (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967), ss. 124-125.
Türker, S., Aristoteles, Gazzali ile Leibniz'de Yargı Mantığı (Istanbul: Dergah Yayınlan, 2002).
Whewell, W., History of Scientific ideas (Londra: Parker, 1858).
Kant'tan sonra matematiğin ve bununla ilişkili olarak mekanın doğayla ilişkisi üzerinde çok geniş tartışmalar yapılmıştır. Özellikle Einstein'in izafiyet kuramından sonra yaygınlaşan bir görüşe göre matematik iki şekilde düşünülmelidir: saf ve uygulamalı matematik. Saf geometri ve saf aritmetik salt formel olup doğayla doğrudan ilişkisi olmayan kurgusal bir yapıdır. Bu yoruma göre, saf geometri ve aritmetik, tanımlardan ibaret olan birtakım aksiyom ve koyutlardan (postulates) türetilen teoremlerden ibaret olup ancak belli bir yorumla doğaya uygulanabilir. Buna göre örneğin Öklidyen ve Öklidyen olmayan geometriler, belli bir mekan yorumuna dayandığı için birbirinden farklı ve hatta zıt olması mümkündür ve bu imkan, mekanın evrensel ve zorunlu mahiyetine zarar vermez.
Öte yandan Kant'tan sonraki bazı empiristler ise matematiksel bilginin analitik değil sentetik olduğu yani doğa hakkındaki bilgimizi genişlettiği noktasında Kant ile hemfikir olmalarına karşın yaptıkları temellendirme, tecrübeye dayandığından Kant'ınkinden oldukça farklıdır. Bunlar, matematiksel bilgideki evrensellik ve kesinliği inkar etmemekle birlikte onun Kant'ın iddia ettiği gibi sentetik a priori olmadığını savunurlar.
Örneğin böyle bir görüşü seslendiren V. Hacıkadiroğlu'na göre matematiksel bilgi, empirist analitikçilerin iddia ettiği gibi dünya hakkında birşey söylemeyen analitik bir bilgi değil, tam tersine dünya hakkında bilgi veren sentetik bir bilgidir, ama sentetik olmasına karşın aynı zamanda da kesin (certain) yahut onun deyimiyle pekin bir bilgidir. Hacıkadiroğlu, en tutarlı empirist olarak kabul edilen Hume'un aksine, ampirik bilginin de kesin olabildiğini iddia eder: "...Hume'un deneysel bilginin pekin olamayacağı görüşü temelden yanlıştır". Gerçi Hacıkadiroğlu kesin bilgiden ne anladığını açık bir şekilde ifade etmese de kullandığı bağlamda bu terimin zorunluluk ve evrensellik niteliklerini haiz bir terim olduğu anlaşılmaktadır. Öna göre Kant'ın diğer sentetik a priori bilgileri örneğin nedensellik yasası Kant'tm matematiksel yargıların sentetik a prioriliğine dayandığı için matematiksel yargıların sentetik a priori olmadığı gösterilirse onların da sentetik a prioriliği tehlikeye girmiş olur. Ancak konumuz fizikteki sentetik a priori yasalar olmadığı için bu konuya girmeyeceğiz. Ancak bu ikisinin birbiriyle irtibatlı olduğu aşikardır.
Analitik bilginin bilim olamayacağım zira bunun 'birtakım söz oyunlarından' müteşekkil olduğunu söyleyen Hacıkadiroğlu, matematiğin bilimlerdeki kullanımı gözönüne alındığında matematiksel bilginin sentetik olduğunun kolayca görülebileceğini iddia eder. Hacıkadiroğlu, ampirik bilginin ve dolayısıyla deneyimden elde edilen matematiksel bilginin nasıl kesin olabildiğini bir örnekle açıklamaya çalışır. Ona göre örneğin 100 santigrad derecede kaynayan suyun şartlar değiştiğinde farklı derecelerde kaynaması ampirik bilginin kesinliğine zarar vermez, zira şartlar değişmediği sürece suyun 100 derecede kaynamaması için bir neden yoktur. Hacıkadiroğlu'na göre matematiksel önermelerin Kant'ın iddia ettiği gibi sentetik a priori olmak zorunda olmadıklarım çünkü "...toplulukların sayılarla ilgili aritmetik önermeleriyle yeryüzünün ve nesnelerin boyut, yüzey ve oylumlanyla ilgili geometri önermleri dünya üzerine pekin [kesin: certain] bilgi veren sentetik ve deneysel önermelerdir. Bu sonuç, Kant'ın öne sürdüğü gibi, dünya üzerine pekin bilgi veren önermelerin a priori olmak zorunda oldukların değil, tersine, deney yoluyla elde edilen bilgilerin de pekin bilgi olabileceğini gösterir".
Ancak ampirik bilgideki kesinliğin matematiksel bilgideki gibi mantıksal bir kesinlik olmadığı açıktır, zira matematiksel doğruların tersi mantıksal olarak saçma sonuçlara götürürken ampirik doğruların tersi bizi mantıksal saçmalara yani çelişkilere sürüklemez. Kısacası ampirik bilginin öyle değil de başka türlü olabilmesi mantıksal olarak da ampirik olarak da mümkün olduğu için matematiksel bilgideki evrensellik ve zorunluluğa sahip olması mümkün değildir. Bu nedenle matematiksel bilginin tecrübeden çıkarıldığını söylemek mümkün değildir. Bu da Hacıkadiroğlu'nun matematiksel doğrularla ilgili görüşün en zayıf noktasını teşkil etmektedir, zira temellerinde pürüz bulunan bir binanın çatısının sağlam olması mümkün değildir.
Kant'tan Sonra Matematik Felsefesindeki Gelişmeler
Özellikle Öklidyen olmayan geometrilerin (Rieman ve Bolyai-Lobachevski geometrileri) ortaya çıkmasından ve Frege, Hubert, Bolzano, Poincaré, Russell, Peano, Dedekind ve Gödel gibi felsefeci ve matematikçilerin geometri ve aritmetiğe ilişkin çalışmalarından sonra Kant'ın matematik felsefesi, felsefe ve matematik çevrelerinde daha çok dikkat çekmeye başlamıştır. Sözkonusu gelişmelerle beraber Kant'ın genelde bilgi kuramı ve özelde ise matematik felsefesi yoğun bir eleştiriye muhatap olmuştur. Eleştirilerin odak noktası da Kant'ın matematiksel yargılarının temelini oluşturan saf görü kavramı olmuştur. Yukarıda adı geçen matematikçilerin çoğu geometri ve aritmetikte saf görüye yer olmadığını çünkü matematiksel doğruların görüye değil de mantığa dayandığını öne sürmüşlerdir. Bazı matematikçiler, Öklidyen olmayan geometrilerin ortaya çıkışından da cesaret alarak, genelde Kant'm bilgi kuramının özelde ise onun matematik felsefesinin matematiği açıklamada yetersiz kaldığını çünkü, bunlara göre, Kant'ın matematik felsefesi, Öklidyen geometrinin doğruluğu ve zorunluluğuna dayandığı için saf görüye değil de birtakım koyutlara dayanan Öklidyen olmayan geometrilerin varlığını izahtan acizdir. Bu görüşü savunanlardan bazıları, Kant'in yaşadığı dönemde henüz Öklidyen olmayan geometriler ortaya çıkmadığı için Kant'ın bu anlamda mazur görülebileceğini öne sürmüş ancak bu varsayımın yanlış bir yoruma dayandığını, zira Kant'ın matematik felsefesine göre, matematiksel yargıların doğruluğunun ve evrenselliğinin zamana bağımlı olmadığını yukarıda belirttik. Kant'ın genelde bilgi kuramı ve özelde matematik felsefesi yeni geometrilerin varoluş imkanını ortadan kaldırmadığı gibi aslında onlara yol da açmış bulunmaktadır bir anlamda.
Kant'tan yaklaşık yüz yıl sonra yani geçtiğimiz yüzyılın başlarında matematiğin mahiyeti konusunda hararetli tartışmalar yapılmıştır. Örneğin geometrik aksiyomlar ve temel matematiksel terimlerin anlamı konusunda Frege'nin temsil ettiği geleneksel görüş - ki Kant da bu görüşü benimser - ile Hilbert ve Poincare gibi matematikçilerin temsil ettiği o dönemde yeni yeni uç vermeye başlayan alternatif goemetri görüşü arasında çok sert tartışmalar meydana gelmiştir. Frege ile Hilbert arasındaki yazışmalarda nezaket kurallarını bile aşan ifadeler görmekteyiz. Frege, geometrik aksiyomu, doğruluğu, sezgi ile kesin olan bir düşünce olarak tanımlarken, Hilbert aksiyomların tanımlardan (Erklärungen) ibaret olduğunu ve dolayısıyla doğru ya da yanlış olamayacağını iddia eder. Hilbert ile bu konuda paralel düşünen Poincaré de geometrik aksiyomların "... ne tecrübi bir olguyu, ne mantıksal bir zorunluluğu ve ne de sentetik a priori bir yargıyı ifade ettiğini" zira bunların 'gizli tanımlar' olduğunu düşünüyordu. Öte yandan, Hilbert, 'nokta', 'çizgi' gibi matematiksel terimlerin anlamlarını aksiyomlara (tanımlara) borçlu olduğunu düşünürken Frege, bu terimlerin anlamlarının aksiyomlara değil, sezgiye dayandığını öne sürer. Frege'ye göre geometrik aksiyomları anlayan herkes bu terimlerin ne anlama geldiğini zaten bildiği için onları aynca tanımlamaya gerek yoktur. Hilbert ise bu terimlerin aksiyomlar dışında bir anlamı olmadığını iddia eder. Başka bir ifadeyle söylersek, Frege'ye göre aksiyomların doğruluğu sezgiye dayandığı için ispat gerektirmezken Hilbert, aksiyomların doğruluğunun aralanndaki tutarlılığa dayandığını söyleyerek yeni bir doğruluk anlayışı ortaya atar.
Aritmetikte ise Frege, Kant'ın aksine, aritmetiğin doğrularının analitik olduğunu yani mantığa indirgenebildiğini ispatlamaya çalışmışsa da öngörmediği bazı paradokslardan (örneğin Russell'ın kümeler paradoksu) dolayı ömrünün sonlanna doğru bu iddiasında şüpheye düşmüştür. Daha önce ifade ettiğimiz gibi, geometri konusunda, Frege, Kant'la paralel bir düşünceye sahiptir; Frege'ye göre de geometrik önermeler sentetik a prioridir. Ancak Frege, The Foundations of Arithmetic (Aritmetiğin Temelleri) adlı kitabında genelde aritmetikte ve özelde ise doğal sayılar kuramında Kant'ın saf görü kavramının gereksiz olduğunu iddia ederek sayılar kuramım kümeler kuramının da yardımıyla mantığa indirgeyerek onun analitik olduğunu göstermeye çalışmıştır. Frege'nin burada kastettiği mantık da tabiatiyle genel mantıktır, Kant'ın anladığı anlamda transandantal mantık değildir, zira Frege transandantal mantığın varlığını reddeder. Ancak Koç'un ifade ettiği gibi, Frege transandantal mantığı kabul etmediği için aritmetiğinin ontolojik mekanı yani felsefi zemini kaymıştır ve bu da Russell ve benzerlerinin paradokslarına yol vermiştir. Zira Kant'ta sayıların ve sayıların içinde oluştuğu yargıların ontolojik mekanı insan zihni iken Frege'de sayıların mekanı belli değildir. Frege, Kant'ı insan zihnini aritmetiğin nesnelerinin ontolojik mekanı yaptığı ve dolayısıyla aritmetiği öznelleştirdiği için suçlamasına karşın Kant'ta ampirik nesnelerde olduğu gibi sayılar ve sayıların içinde yer aldığı aritmetik yargılar öznel değil nesneldir, zira bunların temelinde saf kavramlar yani kategoriler vardır ki, Kant'a göre kategoriler a priori (evrensel ve zorunlu) olduğu için nesneldir. Doğal sayıları, mantıksal kavram ve ilkelerle kümeler cinsinden ifade eden Frege'nin aritmetikteki bu çabasına benzer bir çalışmayı da Dedekind yapmıştır. Dedekind, Hilbert'in geometride yaptığını aritmetikte yapmaya çalışmıştır. Ancak ikisi de aritmetiğin felsefi zeminini yani ontolojik mekanını göstermekte zorlanmış ve dolayısıyla Kant'm aritmetik felsefesini aşamamışlardır.
Sonsöz
Görüldüğü gibi Kant'tan sonra matematikte meydana gelen gelişmeler, genel olarak Kant'ın matematik felsefesine bir yanıt niteliğinde olup matematiği özellikle Kant'ın saf görü kavramından kurtararak onu mantığa indirgeyip analitik yapmayı amaç edinmiştir. Ne var ki, matematiği mantığa indirgeme çalışmaları son yüzyılda büyük bir ivme kazanmış olmasına karşın Russell, Gödel ve diğerlerinin aritmetikte ve özellikle doğal sayılar sisteminde gösterdiği paradoks ve çelişkiler sözkonusu çalışmaları sekteye uğratmış ve bu işle uğraşanları ümitsizliğe sevketmiştir. Dolayısıyla saf görüden kurtulan (daha doğrusu kurtulamayan!) ve analitik hale gelen aritmetik ve geometrinin doğayla nasıl ilişki kurduğu konusu sonraki gelişmelerde belirsizliğini korumuştur. Yani saf görüyü ortadan kaldırmak isteyenler onun yerine felsefi açıdan daha doyurucu birşey koyamamışlardır bu geçen süre içerisinde. Metaforik olarak söylersek, matematikte saf görüye karşı çıkanlar, yağmurdan kaçmak isterken aslında bir anlamda doluya tutulmuşlardır.
KAYNAKÇA:
Coffa, J. A., The Semantic Tradition From Kant to Carnap (Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991).
Çitil, A., Kant'm Transandantal Düşüncesinde Nesne Kuramı ve Bu Kuramın Derinleştirilmesinin Yol Açtığı Bazı Sorunlar, yayınlanmamış doktora tezi, Boğaziçi Üniversitesi, İstanbul, 2000.
Frege, G., The Foundations of Arithmetic, İng. çev. J. L. Austin, 2. baskı (Evanston, İL: Northwestern Univ. Press, 1968).
Hacıkadiroğlu, V., "Matematik Önermeleri Üzerine", Felsefe Tartışmaları 20 (Aralık 1996), İstanbul.
Hubert, D., Foundations of Geometry (La Salle: Open Court, 1988).
Hume, D., An Enquiry Concerning Human Understanding, 2. baskı, editör E. Steinberg (Indianapolis: Hackett Publishing Company, 1993)
Irak, G., "Geometrik Aksiyomların Doğası ve Frege-Hilbert Tartışması", Bilim Felsefesi Seminerleri içinde, Benan Dinçtürk (ed.) (TÜBİTAK Marmara Araştırma Merkezi, 1997), ss. 53-65.
Jones, E., Reading the Book of Nature (Atina: Ohio Univ. Press, 1989).
Kant, I., Critique of Pure Reason, İng. çev. N. K. Smith (New York: St Martin's Press, 1965).
Prolegomena To Any Future Metaphysics That Can Qualify as a Science, İng. çev. P. Carus, 13 Baskı (Chicago: Open Court, 1996).
Logic, İng. çev. R. S. Hartman ve W. Schwarz (New York: Dover Pub.,1988).
Koç, Y., 1996, "Matematiğin Ontoloji Bakımından Kant ile Frege Karşılaştırması", Felsefe Arkivi 35 (1996), İstanbul.
1994, "Mekan ve Nesne", Felsefe Arkivi 29 (1994), İstanbul.
Leibniz, G. W., Philosophical Essays, İng. çev. R. Anew ve D. Garber (Indianapolis: Hackett Publishing Company, 1989)..
Özekes, H., "Matematik ve Düşünmek", Bilim ve Felsefe Toplantıları, Muğla Üniversitesi, 28 Mart 2002, Muğla (Yayınlanmamış Bildiri).
Riehl, A., Phil. Crit, Der philosophische Kriticismus und seine Bedeutung für die positive Wissenschaft, vols. I ve II, (Leipzig: Engelmann, 1879).
Russell, B., "Letter to Frege" (1902), J. van Heijenoort, From Frege to Gödel içinde (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967), ss. 124-125.
Türker, S., Aristoteles, Gazzali ile Leibniz'de Yargı Mantığı (Istanbul: Dergah Yayınlan, 2002).
Whewell, W., History of Scientific ideas (Londra: Parker, 1858).
